Question

已知：如图，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连OE交DC于P，则下列结论，其中正确的有（　　）
①BC=2DE；②OE∥AB；③DE=

2

PD；④AC•DF=DE•CD．

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

∵∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切线
∵BC是⊙O的切线
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED
∴P是CD的中点
∴OP∥AB，
∴OE∥AB
②正确，
∴E是BC的中点
∵AC是直径
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴BC=2DE，①正确；
∵EF⊥AB
∴∠DFE=∠ADC=90°
∵DE=CD，BC是⊙O的切线，
∴DE是⊙O的切线，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴

AC

DE

=

CD

DF

∴AC•DF=DE•CD，④正确．
在四边形PDFE中，我们可以证明它是矩形，而不具备证明它是正方形的条件，
∴DE=

PE2+PD2

只有PE=PD时DE才等于

2

PD．
∴③DE=

2

PD不成立
综上所述，正确的是C
故选C