Question

已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点E，且E为

DF

的中点．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若AD=6，AE=6

2

，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE．
∵E为

DF

的中点，
∴

DE

=

EF

．
∴∠OBE=∠CBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠CBE
∴OE∥BC
∵BC⊥AC，∴∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°，即OE⊥AC
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是半圆O的切线．（2分）

（2）设半圆O的半径为x
∵OE⊥AC，
∴（x+6）²-（6

2

）²=x²
∴x=3（3分）
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC（4分）
∴

AO

AB

=

OE

BC

即

9

12

=

3

BC

∴BC=4．（5分）