Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形

【解析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．