题目内容

【题目】已知矩形ABCD中,AB=10cm,AD=4cm,作如下折叠操作.如图1和图2所示.在边AB上取点M,在边AD或DC上取点P,连接MP,将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′,点A落点为点A′,点D落点为点D′.
探究:

(1)如图1,若AM=8cm,点P在AD上,点A′落在DC上,则∠MA′C的度数为
(2)如图2,若AM=5cm,点P在DC上,点A′落在DC上.
①求证:△MA′P是等腰三角形;
②请直接写出线段DP的长是
(3)若点M固定为AB的中点,点P由A开始,沿A﹣D﹣C方向,在AD、DC边上运动,设点P的运动速度为1cm/s,运动时间为t s,按操作要求折叠:
①求:当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围;
②直接写出当点A′到边AB 的距离最大时,t的值是
发现:若点M在线段AB上移动,点P仍为线段AD或DC上的任意点,随着点M的位置不同,按操作要求折叠后,点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况:不会落在线段DC上,只有一次落在线段DC上,会有两次落在线段DC上.请直接写出点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是

【答案】
(1)30°
(2)3cm
(3)5s;4<AM≤5.8
【解析】解:(1)如图1,过M作ME⊥CD于E,
则ME=AD=4,
由折叠得:AM=A′M=8,
∴ME= A′M,
∴∠MA′C=30°;
所以答案是:30°;(2)①如图2,∵四边形ABCD为矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CPM=∠AMP,
由折叠得:∠AMP=∠A′MP,
∴∠CPM=∠A′MP,
∴A′M=A′P,
∴△MA′P是等腰三角形;②如图2,由折叠得:A′M=AM=5,A′D′=AD=4,
由①得:A′M=A′P=5,
在Rt△A′PD′中,PD′= =3,
∴PD=PD′=3cm;
所以答案是:3cm;(3)①当P在AD上,点A′落在DC上时,如图3,
过M作ME⊥CD于E,
∵M是AB的中点,AB=10,
∴AM=5,
由折叠得:A′M=AM=5,
∵MN=4,
设AP=A′P=xcm,
同理得:A′E=3,
∴A′D=DE﹣A′E=5﹣3=2,
PD=4﹣x,
在Rt△A′DP中,x2=22+(4﹣x)2
解得x=2.5,
此时,t=2.5s;
当点P在DC上,A′也在DC上时,如图2,
此时PD=3cm,
t=7s,
∴当MA′与线段DC有交点时,t的取值范围为2.5≤t≤7;②当点A′到边AB 的距离最大时,即A′M⊥AB时,如图4,
由折叠得:A′M=AM=5,
此时t的值是5s;
所以答案是:5s;
发现:点A的落点A′,在以M为圆心,AM为半径的圆上,
当圆M与线段CD有唯一交点时,如图5,此时AM=4cm;
当圆M交线段CD于点C时,如图6,
设AM=xcm,则CM=xcm,BM=(10﹣x)cm,
在Rt△MBC中,由勾股定理得:MC2=BM2+BC2
∴x2=(10﹣x)2+42
x=5.8,
∴点A′有两次落在线段DC上时,AM的取值范围是:4cm<AM≤5.8cm.
所以答案是:4cm<AM≤5.8cm.






【考点精析】掌握翻折变换(折叠问题)是解答本题的根本,需要知道折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.

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