Question

（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），求出一边落在直径MN上的最大的正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），求出一边落在直径MN上的最大的正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

Answer 1

（1）R²；（2）R²；（3）存在，36．

试题分析：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．连接OC，则OC⊥AB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．连接OA．令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；
（3）如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．
连接OC，则OC⊥AB．
∵AB=2OB•tan30°=R，
∴S_△ACB=AB•OC=×R•R=R²．
（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．
连接OA．令OB=a，则AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即a²=R²．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=R²．

（3）存在．
如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN
所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．
∴S_矩形ABCD=AB•AD=AA^′•AD=S_△AA′D
∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=•2R•R=R²=36．
考点: 1.垂径定理；2.等边三角形的性质；3.勾股定理；4.正方形的性质．