Question

已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．
（1）由恒成立，说明恒成立；
（2）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明恒成立．

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析

解：（1）∵（﹣）²≥0，
∴a﹣2+b≥0，
∴a+b≥2，
∴；
（2）如图，连接OP，

∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=，
又∵PO=，PO≥PC，
∴．
（1）由（﹣）²≥0，利用完全平方公式，即可证得恒成立；
（2）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC=，又由OP是半径，可得OP是直径的一半，即OP=，然后由垂线段最短，即可证得恒成立．