题目内容

如图,已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.

(1)点C的坐标是     ,线段AD的长等于     
(2)点M在CD上,且CM=OM,抛物线y=x2+bx+c经过点G,M,求抛物线的解析式;
(3)如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线AC上,那么在(2)中的抛物线上是否存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长l;若不存在,请说明理由.

解:(1)(0,3);4。
(2)
(3)抛物线上存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形。

解析试题分析:(1)首先求出图象与x轴交于点A,与y轴交于点B的坐标,进而得出C点坐标以及线段AD的长:
与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴y=0时,x=﹣3,x=0时,y=1。
∴A点坐标为:(﹣3,0),B点坐标为:(0,1)。
∴OC=3,DO=1。
∴点C的坐标是(0,3),线段AD的长等于4。
(2)首先得出点M是CD的中点,即可得出M点坐标,进而利用待定系数法求二次函数解析式。
∵CM=OM,∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°,∴∠ODM=∠MOD。∴OM=MD=CM。
∴点M是CD的中点,∴点M的坐标为()。
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C,M,
,解得:
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为:
(3)分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时,分析四边形CFPE为菱形得出即可。
情形1:如图1,当点F在点C的左边时,四边形CFEP为菱形,

∴∠FCE=PCE。
由题意可知,OA=OC,∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°。∴菱形CFEP为正方形。
过点P作PH⊥CE,垂足为H,
则Rt△CHP为等腰直角三角形。
∴CP=CH=PH。
设点P为(x,),则OH=,PH=x,
∵PH=CH=OC﹣OH,∴,解得:x1=, x2=0(舍去)。
∴CP=CH=
∴菱形CFEP的周长l为:
情形2:如图2,当点F在点C的右边时,四边形CFPE为菱形,

∴CF=PF,CE∥FP。
∵直线AC过点A(﹣3,0),点C(0,3),
∴直线AC的解析式为:y=x+3。
过点C作CM⊥PF,垂足为M,
则Rt△CMF为等腰直角三角形,CM=FM。
延长PF交x轴于点N,则PN⊥x轴,
∴PF=FN﹣PN。
设点P为(x,),则点F为(x,x+3),

,解得:,x2=0(舍去)。

∴菱形CFEP的周长l为:)。
综上所述,这样的菱形存在,它的周长为

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