题目内容
如图,已知抛物线与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若不存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线的图象经过点A(﹣2,0),
∴,解得:。
∴抛物线解析式为。
又∵,
∴对称轴方程为:x=3。
(2)在中,令x=0,得y=4,∴C(0,4);
令y=0,即,整理得x2﹣6x﹣16=0,解得:x=8或x=﹣2。
∴A(﹣2,0),B(8,0)。
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:
,解得。
∴直线BC的解析式为:。
(3)可判定△AOC∽△COB成立。理由如下:
在△AOC与△COB中,∵OA=2,OC=4,OB=8,∴。
又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB。
(4)存在。
∵抛物线的对称轴方程为:x=3,∴可设点Q(3,t),则可求得:
。
①当AQ=CQ时,有,即25+t2=t2﹣8t+16+9,解得t=0。
∴Q1(3,0)。
②当AC=AQ时,有,即t2=﹣5,此方程无实数根,
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形。
③当AC=CQ时,有,整理得:t2﹣8t+5=0,解得:。
∴点Q坐标为:Q2(3,),Q3(3,)。
综上所述,存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,点Q的坐标为:Q1(3,0),Q2(3,),Q3(3,)
解析
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