题目内容

如图①,若二次函数的图象与x轴交于点A(-2,0),B(3,0)两点,点A关于正比例函数的图象的对称点为C。
(1)求b、c的值;
(2)证明:点C 在所求的二次函数的图象上;
(3)如图②,过点B作DB⊥x轴交正比例函数的图象于点D,连结AC,交正比例函数的图象于点E,连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动,当其中一个到达终点时,另一个随之停止运动,连结PQ、QE、PE,设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。

(1)
(2)利用轴对称和锐角三角函数求出点C的坐标,代入验证即可。
(3)存在时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC。

解析分析:(1)将A(-2,0),B(3,0)两点坐标 代入,即可求出b、c的值。
(2)利用轴对称和锐角三角函数求出点C的坐标,代入验证即可。
(3)通过证明△PAE∽△ECQ,求出时间t。
解:(1)∵二次函数的图象与x轴交于点A(-2,0),B(3,0)两点,
,解得

(2)证明:由(1)得二次函数解析式为
在正比例函数的图象上取一点F,作FH⊥x轴于点H,则
。∴
连接AC交 的图象于点E,作CK 垂直x轴于点K,

∵点A关于的图象的对称点为C,
∴OE垂直平分AC。
,OA=2,

在Rt△ACK中,∵
。∴
∴点C 的坐标为
将C 代入,左边=右边,
∴点C在所求的二次函数的图象上。
(3)∵DB⊥x轴交的图象于点D,B(3,0),

∴把x=3代入,即BD=
在Rt△ACK中,
∵OE垂直平分AC,

假设存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC,

, ∴
又∵,∴
又∵,∴△PAE∽△ECQ。∴,即
整理,得,解得(不合题意,舍去)。
∴存在时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC。

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