Question

如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别交边AD于E、F．
（1）求证：AF=ED；
（2）若BG=GC，判定四边形ABCD是什么特殊平行四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．

（2）解：平行四边形ABCD是矩形，
理由是：∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠DCF=∠BCF=∠DCB，
∵BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
分析：（1）求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF即可；
（2）求出∠GBC=∠GCB，推出∠ABC=∠DCB，根据平行四边形性质求出∠ABC=90°即可．
点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，矩形的判定，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．