题目内容

如图,已知平行四边形ABCD中,∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别交边AD于E、F.
(1)求证:AF=ED;
(2)若BG=GC,判定四边形ABCD是什么特殊平行四边形?并说明理由.

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
同理DF=CD,
∴AE=DF,
即AE-EF=DF-EF,
∴AF=DE.

(2)解:平行四边形ABCD是矩形,
理由是:∵CF平分∠DCB,BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,∠DCF=∠BCF=∠DCB,
∵BG=CG,
∴∠GBC=∠GCB,
∴∠ABC=∠DCB,
∵平行四边形ABCD,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
分析:(1)求出AB=CD,AD∥BC,根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB,推出AB=AE,同理求出DF=CD,求出AE=DF即可;
(2)求出∠GBC=∠GCB,推出∠ABC=∠DCB,根据平行四边形性质求出∠ABC=90°即可.
点评:本题考查了平行四边形性质,平行线性质,矩形的判定,角平分线性质,等腰三角形的性质和判定等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,题目比较典型,难度适中.
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