题目内容
【题目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,O是BC上一点,⊙O交AB于点D,交BC延长线于点E.连接ED,交AC于点G,且AG=AD.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)设⊙O与AC的延长线交于点F,连接EF,若EF∥AB,且EF=5,求BD的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】分析:(1)连结OD,由∠ACB=90°,可得∠OED+∠EGC=90°,再由OD=OE,根据等腰三角形的性质可得∠ODE=∠OED,再因AG=AD,根据等腰三角形的性质可得∠ADG=∠AGD ,由∠OED+∠EGC=∠ADG+∠ODE=∠ADO=90°,可得OD⊥AB ,所以AB是⊙O的切线;(2)连接OF,由EF∥AB,AC:BC=4:3,可得CF:CE=4:3.在Rt△ECF中,EF=5,求得CF=4,CE=3.设半径=r,则OF=r,CF=4,CO=r-3.
在Rt△OCF中,由勾股定理求得r=, 再证得△CEF∽△DBO,根据相似三角形的性质可得,由此求得BD=.
详解:
(1)证明:连结OD
∵∠ACB=90°,
∴∠OED+∠EGC=90°,
∴OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∵AG=AD,
∴∠ADG=∠AGD ,
∵∠AGD=∠EGC,
∴∠OED+∠EGC=∠ADG+∠ODE=∠ADO=90°,
∴OD⊥AB ,
∵OD为半径,
∴AB是⊙O的切线;
(2)连接OF.
∵EF∥AB,AC:BC=4:3,
∴CF:CE=4:3.
又∵EF=5,
∴CF=4,CE=3.
设半径=r,则OF=r,CF=4,CO=r-3.
在Rt△OCF中,由勾股定理,可得r=.
∵EF∥AB,
∴∠CEF=∠B,
∴△CEF∽△DBO,
∴=,
∴BD=.