题目内容
如图,直线y=-x+b与双曲线y=
(x>0)交于A、B两点,与x轴、y轴分别交于E、F两点,连接OA、OB,若S△AOB=S△OBF+S△OAE.则:①S△OBF+S△OAE=______S△OEF;②b=______.
1 |
x |
①令y=0,则-x+b=0,
解得x=b,
令x=0,则y=b,
所以,点E(b,0)、F(0,b),
所以,OE=OF=b,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∴∠OEA=45°,
作AN⊥OE于N,
∴AN=NE,△ANE∽△FOE,
∴
=
.
过点O作OM⊥AB于点M,则ME=MF,
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),
∵
,
消去y得,x2-bx+1=0,
根据根与系数的关系,x1•x2=1,
所以y1•y2=1,
所以y1=x2,y2=x1,
所以OA=OB,
所以AM=BM(等腰三角形三线合一),
∵S△AOB=S△OBF+S△OAE,
∴FB=BM=AM=AE,
∴S△AOE=S△AOM=S△MOB=S△BOF.
=
.
∴S△OBF+S△OAE=
S△OEF,
②∵
=
,
∴
=
,
∴
=
,
∴EN=
b,
∴AN=
b,
∴ON=
b,
∴A(
b,
b),
∵点A在双曲线y=
上,
∴
b×
b=1,
解得b=
,
故答案为:
,
.
解得x=b,
令x=0,则y=b,
所以,点E(b,0)、F(0,b),
所以,OE=OF=b,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∴∠OEA=45°,
作AN⊥OE于N,
∴AN=NE,△ANE∽△FOE,
∴
AE |
EF |
EN |
OE |
过点O作OM⊥AB于点M,则ME=MF,
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),
∵
|
消去y得,x2-bx+1=0,
根据根与系数的关系,x1•x2=1,
所以y1•y2=1,
所以y1=x2,y2=x1,
所以OA=OB,
所以AM=BM(等腰三角形三线合一),
∵S△AOB=S△OBF+S△OAE,
∴FB=BM=AM=AE,
∴S△AOE=S△AOM=S△MOB=S△BOF.
AE |
EF |
1 |
4 |
∴S△OBF+S△OAE=
1 |
2 |
②∵
AE |
EF |
EN |
OE |
∴
EN |
OE |
1 |
4 |
∴
EN |
b |
1 |
4 |
∴EN=
1 |
4 |
∴AN=
1 |
4 |
∴ON=
3 |
4 |
∴A(
3 |
4 |
1 |
4 |
∵点A在双曲线y=
1 |
x |
∴
3 |
4 |
1 |
4 |
解得b=
4 |
3 |
3 |
故答案为:
1 |
2 |
4 |
3 |
3 |
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