Question

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

Answer 1

（1）y=x²﹣3x （2）m=4 点D的坐标为（2，﹣2） （3）点P的坐标为（）和（）

解析试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可。
（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可。
（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，进而求出点P₁的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标。　
解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：y=x²﹣3x。
（2）设直线OB的解析式为y=k₁x（ k₁≠0），
由点B（4，4）得4="4" k₁，解得k₁=1。
∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°。
∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0）。∴m=4。
∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4。
解方程组，解得：。
∴点D的坐标为（2，﹣2）。
（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）。
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，此直线过点B（4，4）。
∴4k₂+3=4，解得 k₂=。
∴直线A′B的解析式为y=x+3。
∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上。
设点N（n， n+3），
又点N在抛物线y=x²﹣3x上，
∴n+3=n²﹣3n，解得  n₁=，n₂=4（不合题意，舍去）。
∴点N的坐标为（）。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，

则 N₁（），B₁（4，﹣4）。
∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上。
∵△P₁OD∽△NOB，∴△P₁OD∽△N₁OB₁。∴P₁为O N₁的中点。
∴。∴点P₁的坐标为（）。
将△P₁OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P₁到y轴距离，点到y轴距离等于P₁到x轴距离，
∴此点坐标为：（）。
综上所述，点P的坐标为（）和（）。