Question

如图，△中，，．是的中点，⊙与AC，BC分别相切于点与点．与的一个交点为F，连结并延长交的延长线于点．若=，则__.

Answer 1

试题分析：连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB-OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长．
连接OD

∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°．
∵AC为圆O的切线，
∴OD⊥AC，
又∵O为AB的中点，
∴AO=BO=AB=2，
∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2×=2，
∴BF=OB-OF=2-2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，

点评：圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．