Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．

(1)填空：如图9，AC=         ，BD=         ；四边形ABCD是       梯形.

(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

 

Answer 1

解：（1），，…………………………1分

等腰；…………………………2分

   （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）

  　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

 

（3）由题意知，FP∥AE，

    ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.…………………………6分

过点P作PK⊥FB于点K，则.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，. ……………………7分

∴ △FBP的面积，

∴ S与t之间的函数关系式为：

      ，或. …………………………………8分

t的取值范围为：. …………………………………………………………9分