题目内容
将两块大小一样含30°角的直角三角板,按如图①与图②方式叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,连接CD.(1)填空:
图①中CD与AB
图②中CD与AB
(2)请写出图①中所有的等腰三角形.
(3)若把两块三角板按如图③的方式摆放.已知BC=A1D=4,试求△AB1C的面积?
分析:(1)分别证明①CD∥AB和②CD⊥AB;
(2)从图中找等腰三角形即可;
(3)根据△A1BC是等边三角形,即可求得AC,根据面积计算方法求△AB1C的面积.
(2)从图中找等腰三角形即可;
(3)根据△A1BC是等边三角形,即可求得AC,根据面积计算方法求△AB1C的面积.
解答:解:(1)填空:
图①中CD与AB平行;图②中CD与AB垂直.
选①证法:
∵∠CAB=∠DBA,∴AE=EB,
又∵AC=BD,
∴DE=CE,则:∠DCE=∠EDC,而:∠DEC=∠BEA,
∴∠DCE=∠BAE
∴CD∥AB.
选②证法:∵AC=AD且CB=BD,
∴A,B都是CD的垂直平分线上的点
∴CD⊥AB
故答案为 平行,垂直.
(2)△EDC,△EBA,△CDB,△DAC.
(3)∵∠A=∠B1=30°,且∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°,
∵BC=A1D=4,
∴△A1BC是等边三角形,则:∠ACA1=90°-∠A1CB=30°,
∴∠A=30°=∠A1CA,
∴AA1=A1C=4,
∴AB1=AB+BB1=8+4=12,
过点C作CE⊥AB,则CE=BC•sin60°=4×
=2
,
∴S△AB1C=
AB1•CE=
×12×2
=12
.
图①中CD与AB平行;图②中CD与AB垂直.
选①证法:
∵∠CAB=∠DBA,∴AE=EB,
又∵AC=BD,
∴DE=CE,则:∠DCE=∠EDC,而:∠DEC=∠BEA,
∴∠DCE=∠BAE
∴CD∥AB.
选②证法:∵AC=AD且CB=BD,
∴A,B都是CD的垂直平分线上的点
∴CD⊥AB
故答案为 平行,垂直.
(2)△EDC,△EBA,△CDB,△DAC.
(3)∵∠A=∠B1=30°,且∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°,
∵BC=A1D=4,
∴△A1BC是等边三角形,则:∠ACA1=90°-∠A1CB=30°,
∴∠A=30°=∠A1CA,
∴AA1=A1C=4,
∴AB1=AB+BB1=8+4=12,
过点C作CE⊥AB,则CE=BC•sin60°=4×
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2 |
3 |
∴S△AB1C=
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3 |
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点评:本题考查了线段平行、垂直的证明,考查了三角形面积的计算,本题证明A1是AB的中点是解题的关键.
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