Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．

（1）填空：如图1，AC=

 

，BD=

 

；四边形ABCD是

 

梯形；
（2）请写出图1中所有的相似三角形；（不含全等三角形）
（3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理可得AC=BD=

82-42

=4

3

；易知△ADC≌△BCD，利用四边形内角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB，∵AD=BC∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）图中的三角形分为两类：30°，30°，120°；30°，60°，90度．按此找相似三角形即可；
（3）过P作出△FBP的高．△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．注意用t表示的线段应大于0．

解答：解：（1）4

3

，4

3

，等腰；

（2）共有9对相似三角形．
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，
分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2对）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对）
所以，一共有9对相似三角形．

（3）由题意知，FP∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
过点P作PK⊥FB于点K，则FK=BK=

1

2

FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8-t，BK=

1

2

（8-t）．
在Rt△BPK中，PK=BK•tan∠2=

1

2

（8-t）tan30°=

3

6

（8-t）．
∴△FBP的面积S=

1

2

•FB•PK=

1

2

（8-t）•

3

6

（8-t），
∴S与t之间的函数关系式为：
S=

3

12

（8-t）²，或S=

3

12

t²-

4 3

3

t+

16

3

3

，
t的取值范围为：0≤t＜8．

点评：“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆；有效的数学学习过程应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略”．此题正是在常见的三角板的操作变形中，将几何中的平移知识，代数中的函数知识有机地进行结合，要求学生抓住问题中的内在联系进行探究．