题目内容

如图,抛物线(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由。

解:(1)∵抛物线(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),
,解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),点C(0,4),
,解得
∴直线AC的解析式为
∵点M的横坐标为m,点M在AC上,
∴M点的坐标为(m,)。
研三理-孟奕含(713000529);∵点P的横坐标为m,点P在抛物线上,
∴点P的坐标为(m,)。
∴PM=PE-ME=()-()=
∴PM=(0<m<3)。
(3)在(2)的条件下,连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似。理由如下:
由题意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF==
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况:
①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(),
∵m≠0且m≠3,∴m=
∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF。
在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°。
∴△PCM为直角三角形。
②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(),
∵m≠0且m≠3,∴m=1。
∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。
∴△PCM为等腰三角形。
综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形。

解析

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