Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直线EF与⊙O相切，理由为：

连接OD，如图所示：

∵AC为⊙O的直径，

∴∠CBA=90°

又∵∠F=90°

∴∠CBA=∠F

∴AB‖EF

∴∠AMO=∠EDO

又∵D为弧AB的中点

∴弧BD=弧AD

∴OD⊥AB

∴∠AMO=∠EDO=90°

∴EF为⊙O的切线

（2）

shan

解：在Rt△AEF中，∠ACB=60°

∴∠E=30°

又∵CF=6

∴CE=2CF=12

∴EF==6

在Rt△ODE中，∠E=30°

∴OD=OE

又∵OA=OE

∴OA=AE=OC=CE=4,OE=8

又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E

∴△ODE∽△CFE

∴,即

∴DE=4

又∵Rt△ODE中，∠E=30°

∴∠DOE=60°

∴ S阴影=S扇形OAD=×4×4-=8-

【解析】：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥AB即可。
（2）先根据勾股定理求出EF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出DE，阴影部分的面积等于△ODE的面积减去扇形OAD的面积即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，还要掌握扇形面积计算公式(在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）)的相关知识才是答题的关键．