Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，则∠BDC=________度，∠DBC=________度．

Answer 1

12.5    37.5
分析：由等腰三角形的性质可得：∠ADB=∠ABD，∠ACB=∠ABC，∠ADC=∠ACD，根据已知与三角形的内角和为180°求解即可求得答案．
解答：法一：∵AB=AC=AD，
∴∠ADB=∠ABD，∠ACB=∠ABC，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAC=25°，∠CAD=75°，
∴∠ACB=（180°-25°）÷2=77.5°，∠DAB=∠DAC+∠CAB=100°，
∠ADC=∠ACD=（180°-75°）÷2=52.5°，
∴∠ADB=（180°-100°）÷2=40°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=52.5°-40°=12.5°，
∠DCB=∠DCA+∠ACB=52.5°+77.5°=130°，
∴∠DBC=180°-∠DCB-∠BDC=180°-130°-12.5°=37.5°．
∴∠BDC=12.5°，∠DBC=37.5°．
法二：∵AB=AC=AD，
∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠BAC=25°，
∴∠BDC=∠BAC=12.5°，
∵∠CAD=75°，
∴∠DBC=∠CAD=37.5°．
故答案为：12.5，37.5．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题图形较复杂，但难度不大，注意数形结合思想的应用．