Question

【题目】如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．

（1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9

∴D点的坐标是（2，9）；

∵E为对称轴上的一点，

∴点E的横坐标是：﹣=2，

设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），

∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，

∴△CEC′是等腰直角三角形，

∴

解得或（舍去），

∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．

综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．

（2）

解：如图1所示：

令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，

解得：x1=﹣1，x2=5，

所以点A（﹣1，0），B（5，0）．

设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得，

解得：，

∴直线C′E的解析式为y=x+1，

将y=x+1与y=﹣x2+4x+5，联立得：，

解得：，，

∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．

∵直线C′E的解析式为y=x+1，

∴∠FAB=45°．

过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．

∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．

又∵∠NAD=∠HNM=45°．

∴△HGM∽△ABN

∴，

∵S△HGF：S△BGF=5：6，

∴．

∴，即，

∴HG=5．

设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），

∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．

解得：m1=，m2=．

（3）

解：由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．

将x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，

∴点T的坐标为（5，5）．

设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，

∴直线OT的解析式为y=x，

①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，

将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5．

∴点P的坐标为（1，5）．

将x=1代入y=x得：y=1，

∴点Q的坐标为（1，1）．

②如图3所示：

由①可知：点P的坐标为（1，5）．

∵△PTQ为等腰直角三角形，

∴点Q的横坐标为3，

将x=3代入y=x得；y=3，

∴点Q得坐标为（3，3）．

③如图4所示：

设直线PT解析式为y=kx+b，

∵直线PT⊥QT，

∴k=﹣1．

将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，

∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．

将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得：x1=2，x2=5

∴点P的横坐标为2．

将x=2代入y=x得，y=2，

∴点Q的坐标为（2，2）．

综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．

【解析】（1）首先根据抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标，然后再根据S△HGF：S△BGF=5：6，得到：，然后再证明△HGM∽△ABN，，从而可证得，所以HG=5，设点H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；
（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．