题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣
x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1 ， 0），C（x2 ， 0）三点，且|x2﹣x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
【解答】解：∵抛物线y=﹣
x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），
∴c=﹣4
又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，
∴x1+x2=
b，x1x2=6
由已知得（x2﹣x1）2=25
又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=
b2﹣24
∴b2﹣24=25
解得b=±
，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=﹣．
（2）
∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+
）2+
，
∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．
（3）
∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与
抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，
∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，
∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上.
【解析】（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．
一线名师提优试卷系列答案
【题目】某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数进行整理，作出如下统计图表．
训练后篮球定点投篮测试进球统计表
进球数（个） | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
人数 | 2 | 1 | 4 | 7 | 8 | 2 |
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个;
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；
（3）根据测试资料，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%，求参加训练之前的人均进球数．
