题目内容
【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC，直线BC相交于点E，F，我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，当点E在线段AC上时，试判别△DEF的形状，并说明理由；
（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）△DEF等腰直角三角形,理由见解析;（2）见解析.
【解析】
（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质得出CD平分∠C，CD⊥AB，进而证得△DCE≌△DFB，从而证得DE=DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．
（2）分三种情况分别讨论，可得出△EFG为等腰三角形时CG的长．
解：（1）△DEF等腰直角三角形．
证明：如图2，∵AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，连接CD，
∴CD平分∠C，CD⊥AB，
∵∠DCB=∠B=45°，
∴CD=DB=1，
∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（ASA），
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形．
（2）如图3a，当G在线段CB延长线上时，
∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°
∴△EFG不可能是等腰三角形；
如图3b，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，
此时FE=FG，CG=
，
如图3c，当G在线段BC上时，
∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，
∴只能EF=EG，
∵EC⊥FG，
∴FC=CG，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG=90°，
∴DC=
FG=CG，
∴CG=1；
综上，CG的值为
或1．
