Question

【题目】有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．

（1）已知为智慧三角形，且的一边长为，则该智慧三角形的面积为_________；

（2）如图①，在中，，，求证：是智慧三角形；

（3）如图②，是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，，点在函数（）的图象上，点在点的上方，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，1，；（2）见解析；（3）或

【解析】

（1）由于不确定是哪条边的边长，故需分3种情况讨论，每种情况中，不确定长的边是否为智慧边，故又需要分类讨论；

（2）过C作AB边的垂线CD，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用CD把各边关系表示出来，易得BC是AC的倍，即可得证；

（3）由题意可知，因此当△ABC为直角三角形时，AB不可能为斜边，即只分或，两种情况讨论，做辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入计算．

解：（1）如图2，设

①若

1）

2),则

②若

1），即

2），则

③若，则

故答案为：，，1，

（2）如图2，过点作于点．

在中，，

∴．

在中，，

∴．

∴．

∴是智慧三角形．

（3）由题意可知或．

①当时，如图3，

过点作轴于点，过点作交延长线于点，过点作轴于点，则．

∴．

∴．

∴．

∴．

设，则．

∵，

∴．

∵，，

∴，．

∵点在函数的图象上，

∴．

解得：，（舍去）．

∴．

②当时，如图4，过点作轴于点，过点作轴于点．

则．

∴．

∴．

由（1）知．

∴是等腰直角三角形．

∴．由①知．

∴．

∴．

设，则．

∴，．

∵点在函数（）的图象上，

．

解得：．

∴．

综上所述，或．