题目内容
【题目】如图1,,
平分
,以
为顶点作
,交
于点
,
于点E.
(1)求证:;
(2)图1中,若,求
的长;
(3)如图2,,
平分
,以
为顶点作
,交
于点
,
于点
.若
,求四边形
的面积.
【答案】(1)见解析;(2)OD+OE =;(3)
【解析】
(1)过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH,从而求解;
(2)根据全等三角形的性质得到OD+OE =2OH,然后利用勾股定理求OH的值,从而求解;
(3)过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH,从而求得=
=2
,然后利用含30°的直角三角形性质求得OH=
,CH=
从而求得三角形面积,使问题得到解决.
解:(1)如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H,
∵平分
∴CG =CH
∵,
∴∠CDO+∠CEO=180
∵∠CDG+∠CDO=180
∴∠CDG =∠CEO
在△CDG与△CEH中
∴△CDG ≌ △CEH(AAS)
∴
(2)由(1)得△CDG ≌ △CEH
∴DG=HE
由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形,且OG=OH
∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH
设OH=CH=x,在Rt△OCH中,由勾股定理,得:
OH2+CH2=OC2
∴
∴(舍负)
∴OH =
∴OD+OE =2OH=
(3)如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H,
∵平分
∴CG =CH
∵,
∴∠CDO+∠CEO=180
∵∠CDG+∠CDO=180
∴∠CDG =∠CEO
在△CDG与△CEH中
∴△CDG ≌ △CEH(AAS)
∴DG=HE
由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH
∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH
∴=
=2
在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3,
∴OH=,CH=
∴
∴=2
=
