Question

【题目】如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，DC，BC，CD上的点，连接EF，GH．

①若EF⊥GH，则必有EF=GH．

②若EF=GH，则必有EF⊥GH．

判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．

Answer 1

【答案】①②两个命题成立；理由见解析．

【解析】

①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明△EFN≌△HGM(ASA)，即可得出EF=GH；

②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明Rt△EFN≌Rt△HGM(HL)，得出∠OGQ=∠PFQ，证出∠PQF+∠PFQ=90°，即可得出结论．

上述两个命题成立．理由如下：

①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示，则∠GMH=∠FNE=90°．

∵ABCD是正方形，

∴∠A=∠D=90°．

∴ADMG是矩形，

∴GM=AD，

同理可证：NFCD是矩形，

∴NF=DC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，

∴FN=GM．

∵∠FND=∠D=∠GMD=90°，

∴∠MON=90°，

∴∠GOF=∠MON=90°，

∴∠OGQ+∠OQG=90°．

∵EF⊥GH，

∴∠PFQ+∠PQF=90°．

∵∠OQG=∠PQF，

∴∠OGQ=∠PFQ．

在△EFN和△HGM中，∵，

∴△EFN≌△HGM(ASA)，

∴EF=GH；

②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图所示，则∠GMH=∠FNE=90°．

∵ABCD是正方形，

∴∠A=∠D=90°．

∴ADMG是矩形，

∴GM=AD，

同理可证：NFCD是矩形，

∴NF=DC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，

∴FN=GM．

在Rt△EFN和Rt△HGM中，∵，

∴Rt△EFN≌Rt△HGM(HL)，

∴∠OGQ=∠PFQ．

∵∠OGQ+∠OQG=90°，∠OQG=∠PQF，

∴∠PQF+∠PFQ=90°，

∴∠FPQ=90°，

∴EF⊥GH．