Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩的B点重，∠FGE=90°，FG=3．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向运动，当点F恰好经过BD时，将△EFG绕点F逆时针旋转α°（0°＜α°＜90°），记旋转中的△EFG为△E′F′G′，在旋转过程中，设直线E′G′与直线BC交于N，与直线BD交于M点，当△BMN为以MN为底边的等腰三角形时，FM的长为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC= = =12，
在△BRT和△BRC中，
，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，设RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD2+RT2=RD2 ，
∴x2+12=（5﹣X）2 ，
∴x= ，
∴BR= = = ，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，
∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴ ，
∴ ，
∴FM=3 ．

【考点精析】关于本题考查的旋转的性质，需要了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．