Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．

【解析】

（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

（1）结论：CF=2DG．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，

∵DE=AE，

∴AD=CD=2DE，

∵EG⊥DF，

∴∠DHG=90°，

∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，

∴∠CDF=∠DEG，

∴△DEG∽△CDF，

∴==，

∴CF=2DG．

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．

由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，

∴EH=2DH=2，

∴HM==2，

∴DM=CN=NK==1，

在Rt△DCK中，DK===2，

∴△PCD的周长的最小值为10+2．