Question

【题目】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx﹣k﹣2（k＜0）与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为

Answer 1

【答案】2﹣2 或﹣ 或﹣1
【解析】解：根据题意，x2﹣1＜﹣x+1，即x2+x﹣2＜0，
解得：﹣2＜x＜1，
故当﹣2＜x＜1时，y=x2﹣1；
当x≤﹣2或x≥1时，y=﹣x+1；
函数图象如下：

由图象可知，∵直线y=kx﹣k﹣2（k＜0）与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点，且k＜0，
①直线y=kx﹣k﹣2经过点（﹣2，3）时，3=﹣2k﹣k﹣2，k=﹣ ，此时直线y=﹣ x﹣ ，与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点．
②直线y=kx﹣k﹣2与函数y=x2﹣1相切时，由 消去y得x2﹣kx+k+1=0，∵△=0，k＜0，
∴k2﹣4k﹣4=0，
∴k=2﹣2 （或2+2 舍弃），此时直线y=（2﹣2 ）x﹣4+2 与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点．
③直线y=kx﹣k﹣2和直线y=﹣x+1平行，k=﹣1，直线为y=﹣x﹣1与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点．
综上，k=2﹣2 或﹣ 或﹣1．
故答案为：2﹣2 或﹣ 或﹣1．
结合x的范围画出函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}图象，由直线y=kx﹣k﹣2（k＜0）与该函数图象只有两个交点且k＜0，判断直线的位置得①直线y=kx﹣k﹣2经过点（﹣2，3）时可以求出k；②直线y=kx﹣k﹣2与函数y=x2﹣1相切时，可以求出k．