Question

如图，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-5，O）、B（5，0）、C（0，12）．
（1）若△ABC内心为D．求点D坐标为

 

；
（2）若称与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心，则与AC延长线相切的旁切圆圆心坐标为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：新定义

分析：（1）首先求得内切圆的半径，即可确定D的坐标；
（2）设∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点P，则点P为旁心，过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF=PE=OC=12，在Rt△PFC中，利用三角函数即可求解．

解答：解：（1）∵A（-5，O）、B（5，0）、C（0，12）．
∴AB=10，AC=BC=13，
l=AB+AC+BC=36，
S=

1

2

×AB×CO=

1

2

×10×12=60，
由条件（1）得：r=

2S

l

=

2×60

36

=

10

3

，
得D（0，

10

3

），
故答案为：（0，

10

3

）；

（2）设∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点P，则点P为旁心，
∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA，
∴∠PCB=∠CBA，
∴CP∥AB，
过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF=PE=OC=12，
在Rt△PFC中，PC=

PF

sin∠PCF

=

PF

sin∠CBO

=

12

12 13

=13，
∴P（13，12）．
故答案为：（13，12）．

点评：本题主要考查了三角形的内心与外接圆，解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．