题目内容
如图,△ABC中,∠A=60°,AB>AC,两内角的平分线CD、BE交于点O,OF平分∠BOC交BC于F,(1)∠BOC=120°;(2)连AO,则AO平分∠BAC;(3)A、O、F三点在同一直线上,(4)OD=OE,(5)BD+CE=BC.其中正确的结论是 (填序号).
考点:角平分线的性质,全等三角形的判定与性质
专题:
分析:根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB度数,求出∠EBC+∠DCB度数,根据三角形内角和定理求出∠BOC即可,根据角平分线性质求出OQ=OM=ON,根据角平分线性质求出AO平分∠BAC即可;证△MOD≌△QOE,即可推出OD=OE,通过全等求出BM=BN,CN=CQ,代入即可求出BD+CE=BC.
解答:解:∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∴
(∠ABC+∠ACB)=60°,
∵BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBC=
∠ABC,∠DCB=
∠ACB,
∴∠EBC+∠DCB=
(∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠BOC=180°-(∠EBC+∠DCB)=120°,∴①正确;
过O作OM⊥AB于M,OQ⊥AC于Q,ON⊥BC于N,
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点,
∴OM=ON,ON=OQ,
∴OQ=OM,
∴O在∠A平分线上,∴②正确;
∵AB>AC,
∴∠ABC<∠ACB,
∴∠OBC<∠OCB,
∴OB>OC,
即A、O、F不在同一直线上,∴③错误;
∵∠B0C=120°,
∴∠D0E=120°,
OM⊥AB,OQ⊥AC,ON⊥BC,
∴∠AMO=∠AQO=90°,
∵∠A=60°,
∴∠MOQ=120°,
∴∠DOM=∠EOQ,
在△OMD和△OQE中
∴△OMD≌△OQE(AAS),
∴OE=OD,∴④正确;
在Rt△BNO与Rt△BMO中
∴Rt△BNO≌Rt△BMO(HL),
同理,Rt△CNO≌Rt△CQO,
∴BN=BD+DM①,CN=CE-EQ②,
两式相加得,BN+CN=BD+DM+CE-EQ,
∵DM=EQ,
∴BC=BD+CE,∴⑤正确;
故答案为:①②④⑤.
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∴
1 |
2 |
∵BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠EBC+∠DCB=
1 |
2 |
∴∠BOC=180°-(∠EBC+∠DCB)=120°,∴①正确;
过O作OM⊥AB于M,OQ⊥AC于Q,ON⊥BC于N,
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点,
∴OM=ON,ON=OQ,
∴OQ=OM,
∴O在∠A平分线上,∴②正确;
∵AB>AC,
∴∠ABC<∠ACB,
∴∠OBC<∠OCB,
∴OB>OC,
即A、O、F不在同一直线上,∴③错误;
∵∠B0C=120°,
∴∠D0E=120°,
OM⊥AB,OQ⊥AC,ON⊥BC,
∴∠AMO=∠AQO=90°,
∵∠A=60°,
∴∠MOQ=120°,
∴∠DOM=∠EOQ,
在△OMD和△OQE中
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∴△OMD≌△OQE(AAS),
∴OE=OD,∴④正确;
在Rt△BNO与Rt△BMO中
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∴Rt△BNO≌Rt△BMO(HL),
同理,Rt△CNO≌Rt△CQO,
∴BN=BD+DM①,CN=CE-EQ②,
两式相加得,BN+CN=BD+DM+CE-EQ,
∵DM=EQ,
∴BC=BD+CE,∴⑤正确;
故答案为:①②④⑤.
点评:本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.
练习册系列答案
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