Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1．且A、C两点的坐标分别为A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在对称轴上是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A、B两点关于x=1对称，且A（-1，0），
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）存在一个点P，使△PAC的周长最小．
A点关于x=1对称点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴

3k+b=0 b=-3

∴k=1，b=-3，
即BC的解析式为y=x-3．
当x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．