Question

在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面之间坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）点C的坐标为______；
（2）若抛物线y=ax²+bx经过C，A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2

3

；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C点坐标为（

3

，3）．


（2）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（

3

，3）、A（2

3

，0）两点，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得：

a=-1 b=2 3

；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2

3

x．

（3）存在．
∵y=-x²+2

3

x的顶点坐标为（

3

，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t），
同理：Q（

3

，t），D（

3

，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=

4

3

，t=1（舍），
∴P点坐标为（

4 3

3

，

4

3

），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（

4 3

3

，

4

3

）．