题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝ 
，求AD的长．
【答案】
（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴ ∠ABD=∠BAD=45°．∴ AD=BD．
∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o
∴ ∠CAD=∠CBE．
又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，
∴ △ADC≌△BDF． ∴ AC=BF．
∵ AB=BC，BE⊥AC，
∴ AE=EC，即AC＝2AE．∴ BF＝2AE
（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD= 
．
∴ 在Rt△CDF中，CF＝ 
＝2．
∵ BE⊥AC，AE=EC，∴ AF=FC=2．
∴ AD=AF+DF=2+
【解析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用ASA证明 △ADC≌△BDF．根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解
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