题目内容

【题目】如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB,OA交⊙O于点E.
(1)证明:直线AB与⊙O相切;
(2)若AE=a,AB=b,求⊙O的半径;(结果用a,b表示)
(3)过点C作弦CD⊥OA于点H,试探究⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系,并加以证明.

【答案】
(1)证明:如图所示:连接CO,

∵OA=OB,AC=BC,

∴OC⊥AB,

∵OC为⊙O的半径,

∴直线AB与⊙O相切


(2)解:在直角三角形OAC中用勾股定理就可以了.设半径为r,则OC=r,OA=a+r,

AC= AB= b,

在Rt△AOC中,

OC2+AC2=OA2

则r2+ b2=(a+r)2

解得:r=


(3)解:d2=4OH×OB,

理由:∵OA⊥CD,OC⊥AC,

∴∠OCA=∠OHC,

∵∠HOC=∠COA,

∴△HOC∽△COA,

即OC2=OH×OA,

∵OC垂直平分AB,

∴OA=OB,

设直径为d,则OC=

∴( 2=OH×OB,

即d2=4OH×OB.


【解析】(1)利用段垂直平分线的性质得出OC⊥AB,进而得出答案即可;(2)利用勾股定理得出OC2+AC2=OA2 , 进而得出⊙O的半径;(3)首先得出△HOC∽△COA,进而得出OC2=OH×OA,即可得出⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系.

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