题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（1，﹣4+2
）或（1，﹣4﹣2）（3）点M的坐标为（1，
）或（1，1）
【解析】试题分析：
求出
用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作
点
．根据抛物线的解析式求出
设
设 
列出方程，求出
的值.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）
∴
代入
，得
解得 
∴抛物线对应二次函数的表达式为：
（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．
由
得对称轴为直线x=1，
∴
∴
∴
为等腰直角三角形．
∴
∴
∴
∴
为等腰三角形．
设
∴
在
中，
∴
∴
整理，得
解得，
∴点P的坐标为
或
（3）存在点M，使得
∽
．
如图，连结
∵
∴
为等腰直角三角形，
∴
由（2）可知，
∴
∴
分两种情况．
当
时，
∴
，解得
．
∴
∴
当
时，
∴
，解得
∴
∴
综上，点M的坐标为
或
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