题目内容
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点F在AD上,且AF=AB,AE平分∠BAD交BC于点E,连接EF,BF,与AE交于点O.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若四边形ABEF的周长为40,BF=10,求AE的长及四边形ABEF的面积.
【答案】(1)见解析;(2)AE=10,四边形ABEF的面积=50
.
【解析】
(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB,证出BE=AB,由AF=AB得出BE=AF,即可得出结论.
(2)根据菱形的性质可得AB=10,AE⊥BF,BO=FB=5,AE=2AO,利用勾股定理计算出AO的长,进而可得AE的长.菱形的面积=对角线乘积的一半.
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB,且AF=AB,
∴BE=AF,
又∵BE∥AF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AF=AB,
∴四边形ABEF是菱形;
(2)∵四边形ABEF为菱形,且周长为40,BF=10
∴AB=BE=EF=AF=10,AE⊥BF,BO=FB=5,AE=2AO,
在Rt△AOB中,AO=,
∴AE=2AO=10.
∴四边形ABEF的面积=BFAE=
×10×10
=50
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