题目内容

【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点FAD上,且AF=ABAE平分∠BADBC于点E,连接EFBF,与AE交于点O

1)求证:四边形ABEF是菱形;

2)若四边形ABEF的周长为40BF=10,求AE的长及四边形ABEF的面积.

【答案】1)见解析;(2AE=10,四边形ABEF的面积=50.

【解析】

1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB,证出BE=AB,由AF=AB得出BE=AF,即可得出结论.

2)根据菱形的性质可得AB=10AEBFBO=FB=5AE=2AO,利用勾股定理计算出AO的长,进而可得AE的长.菱形的面积=对角线乘积的一半.

1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC

∴∠DAE=∠AEB

AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

∴∠BAE=∠AEB

BE=AB,且AF=AB

BE=AF

又∵BEAF

∴四边形ABEF是平行四边形,

AF=AB

∴四边形ABEF是菱形;

2)∵四边形ABEF为菱形,且周长为40BF=10

AB=BE=EF=AF=10AEBFBO=FB=5AE=2AO

RtAOB中,AO=

AE=2AO=10

∴四边形ABEF的面积=BFAE=×10×10=50

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