题目内容

如图,已知⊙O的半径为2,弦AB的长为2
3
,点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点(点C、D均不与A、B重合).
(1)求∠ACB;
(2)求△ABD的最大面积.
(1)连接OA、OB,作OE⊥AB于E,
∵OA=OB,∴AE=BE,
Rt△AOE中,OA=2,AE=
3

所以sin∠AOE=
3
2

∴∠AOE=60°,(2分)
∠AOB=2∠AOE=120°,
又∠ADB=
1
2
∠AOB,
∴∠ADB=60°,(3分)
又四边形ACBD为圆内接四边形,
∴∠ACB+∠ADB=180°,
从而有∠ACB=180°-∠ADB=120°;(5分)

(2)作DF⊥AB,垂足为F,则:S△ABD=
1
2
×2
3
DF,(6分)
显然,当DF经过圆心O时,DF取最大值,
从而S△ABD取得最大值,
此时DF=DO+OF=2+2sin30°=3,s△ABD=
1
2
×6
3

即△ABD的最大面积是3
3
.(7分)
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