题目内容
【题目】(1)探究:如图1和2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.
①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能证得EF=BE+DF,请写出推理过程;
②如图2,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系 时,仍有EF=BE+DF;
(2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长.
【答案】(1)①理由详见解析;②∠B+∠ADC=180°;(2).
【解析】
试题分析:(1)①把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;
②把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFE≌△AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;
(2)把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,证明△AFE≌△AFG(SAS),则EF=FG,∠C=∠ABF=45°,△BDF是直角三角形,根据勾股定理得到BD2+CE2=DE2
,由∠BAC=90°,AB=AC=2,知BC=4,所以DC=3,EC=3﹣DE,代入解方程即可.
试题解析:解:(1)①理由是:如图1,
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图1,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
则∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG,
在△EAF和△GAF中,AF=AF,∠EAF=∠FAG,AE=AG,
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴EF=FG=BE+DF;
②当∠B+∠ADC=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,AF=AF,∠EAF=∠FAG,AE=AG,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案为:∠B+∠ADC=180°;
(2)把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
则在△ADF和△ADE中,AD=AD,∠FAD=∠DAE,AF=AE,
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°,
∴∠BDF=90°,
∴△BDF是直角三角形
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
∵∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴BC=4,
∵BD=1,
∴DC=3,EC=3﹣DE,
∴1+(3﹣DE)2=DE2,
解得:DE=.
【题目】某校召开运动会,七(1)班学生到超市分两次(第二次少于第一次)购买某种饮料90瓶,共用去205元,已知该种饮料价格如下:
购买瓶数/瓶 | 不超过30 | 30以上不超过50 | 50以上 |
单价/元 | 3 | 2.5 | 2 |
求:两次分别购买这种饮料多少瓶?