题目内容

【题目】1探究:如图1和2,四边形ABCD中,已知AB=AD,BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,EAF=45°

如图1,若B、ADC都是直角,把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,使AB与AD重合,则能证得EF=BE+DF,请写出推理过程;

如图2,若B、D都不是直角,则当B与D满足数量关系 时,仍有EF=BE+DF;

2拓展:如图3,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且DAE=45°若BD=1,求DE的长

【答案】1理由详见解析;B+ADC=180°2

【解析】

试题分析:1ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合,证出AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;

ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合,证出AFE≌△AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;

2ACE旋转到ABF的位置,连接DF,证明AFE≌△AFGSAS,则EF=FG,C=ABF=45°,BDF是直角三角形,根据勾股定理得到BD2+CE2=DE2

,由BAC=90°,AB=AC=2,知BC=4,所以DC=3,EC=3﹣DE,代入解方程即可

试题解析:解:1理由是:如图1,

AB=AD,

ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合,如图1,

∵∠ADC=B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,

DAG=BAE,AE=AG,

FAG=FAD+GAD=FAD+BAE=90°﹣45°=45°=EAF,

EAF=FAG,

EAF和GAF中,AF=AF,EAF=FAG,AE=AG,

∴△AFG≌△AFESAS

EF=FG=BE+DF;

B+ADC=180°时,EF=BE+DF;

AB=AD,

ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合,如图2,

∴∠BAE=DAG,

∵∠BAD=90°,EAF=45°,

∴∠BAE+DAF=45°,

∴∠EAF=FAG,

∵∠ADC+B=180°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,

AFE和AFG中,AF=AF,EAF=FAG,AE=AG,

∴△AFE≌△AFGSAS

EF=FG,

即:EF=BE+DF,

故答案为:B+ADC=180°;

2ACE旋转到ABF的位置,连接DF,则FAB=CAE

∵∠BAC=90°,DAE=45°,

∴∠BAD+CAE=45°,

∵∠FAB=CAE,

∴∠FAD=DAE=45°,

则在ADF和ADE中,AD=AD,FAD=DAE,AF=AE,

∴△ADF≌△ADE,

DF=DE,C=ABF=45°,

∴∠BDF=90°,

∴△BDF是直角三角形

BD2+BF2=DF2

BD2+CE2=DE2

∵∠BAC=90°,AB=AC=2

BC=4,

BD=1,

DC=3,EC=3﹣DE,

1+3﹣DE2=DE2

解得:DE=

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