题目内容
【题目】(本小题满分8分)如图,点E、F为线段BD的两个三等分点,四边形AECF是菱形.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并加以证明;
(2)若菱形AECF的周长为20,BD为24,试求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)四边形ABCD为菱形,证明过程见解析;(2)S四边形ABCD=72.
【解析】
试题分析:(1)连接AC,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明;
(2)根据菱形的四条边都相等求出边长AE,根据菱形的对角线互相平分求出OE,然后利用勾股定理列式求出AO,再求出AC,最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
试题解析:
解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF .
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,
∴BE=FD,
∴BO=OD .
∵AO=OC,
∴四边形ABCD为平行四边形 .
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形;
(2)∵四边形AECF为菱形,且周长为20,∴AE=5 .
∵BD=24,∴EF=8,OE=EF=×8=4.
由勾股定理得,AO===3,
∴AC=2AO=2×3=6 .
∴S四边形ABCD=BDAC=×24×6=72.
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