题目内容

【题目】如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.

(1)求证:△AEF≌△BEC;

(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形,并说出理由;

(3)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,若BC=1,求AH的长.

【答案】(1)(2)见解析;(3)

【解析】试题分析:1)在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,从而推得∠BAD=ABC=60°.由EAB的中点,得到AE=BE.又因为∠AEF=BEC,所以△AEF≌△BEC;(2RtABC中,EAB的中点,则CE=ABBE=AB,得到∠BCE=EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=D=60度.所以FCBD,又因为∠BAD=ABC=60°,所以ADBC,即FDBC,则四边形BCFD是平行四边形.

(2)∠BAD=60°∠CAB=30°可得∠CAH=90°Rt△ABC中,∠CAB=30°BC=1根据30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2,所以AD=AB=2.设AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC2=3,在Rt△ACH中,根据勾股定理列出方程x2+3=2﹣x2解方程即可求得AH的值

试题解析:

1)证明:①在△ABC中,∠ACB=90°∠CAB=30°∴∠ABC=60°

在等边△ABD中,∠BAD=60°∴∠BAD=∠ABC=60°

∵EAB的中点,∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC∴△AEF≌△BEC

2)在△ABC中,∠ACB=90°EAB的中点,

CE=ABBE=ABCE=AE∴∠EAC=ECA=30°∴∠BCE=EBC=60°

又∵△AEF≌△BEC∴∠AFE=∠BCE=60°

又∵∠D=60°∴∠AFE=∠D=60°∴FC∥BD

又∵∠BAD=∠ABC=60°∴AD∥BC,即FD∥BC.∴四边形BCFD是平行四边形

3∵∠BAD=60°∠CAB=30°∴∠CAH=90°

Rt△ABC中,∠CAB=30°BC=1∴AB=2BC=2∴AD=AB=2

AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x,在Rt△ABC中,AC2=22﹣12=3

RtACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3=2x2,解得x=,即AH=

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