题目内容

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0.

(1)判断这个一元二次方程的根的情况;

(2)若等腰三角形的一边长为3,另两条边的长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长及面积.

【答案】(1)该方程有两个实数根;

(2)等腰三角形的周长为78,面积为2

【解析】分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=(2k-3)2≥0,由此即可得出该方程有两个实数根;

(2)分3为底边长及腰长两种情况考虑:①当3为底边长是,由△=0可求出k值,将其代入原方程可求出三角形的腰长,再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积;②当3为腰长时,将x=3代入原方程可求出k值,代入k值可求出等腰三角形的底边长度,再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积.综上即可得出结论.

详解:(1)∵△=[-(2k+1)]2-4×4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0,

∴该方程有两个实数根;

(2)①当3为底边长时,△=(2k-3)2=0,

∴k=

此时原方程为x2-4x+4=0,

解得:x1=x2=2.

∵2、2、3能组成三角形,

∴三角形的周长为2+2+3=7,三角形的面积为×3×

=

②当3为腰长时,将x=3代入原方程,得:9-3×(2k+1)+4(k-)=0,

解得:k=2,

此时原方程为x2-5x+6=0,

解得:x1=2,x2=3.

∵2、3、3能组成三角形,

∴三角形的周长为2+3+3=8,三角形的面积为×2×

综上所述:等腰三角形的周长为7或8,面积为

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