题目内容

如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.

(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,
∴AB=AC=×60=30cm。
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=CD=2t。∴DF=AE。
(2)能。
∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形。
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10。
∴当t=10时,AEFD是菱形。
(3)若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,

则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,

则AE=2AD,即2t =2×60-4t,解得:t=12。
综上所述,当t=或12时,△DEF为直角三角形

试题分析:(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明。
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值。
(3)△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论。
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