Question

如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是

A．1个         B．2个        C．3个        D．4个

Answer 1

D

试题分析：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC。∴PM=PN。正确。
②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，∴。正确。
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°。
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC。
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM。∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°。
∴∠MPN=60°。∴△PMN是等边三角形。正确。
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°。∴BN=CN。
∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形。
∴BN=PB=PC。正确。
综上所述，正确的结论个数是4个。故选D。