[题目]已知.如图1.将绕点旋转得到.延长线于点.使得.连接．(1)求证:四边形是平行四边形,(2)如图2.点是边上任意一点(点与点.不重合).连接交于点.连接.过点作.交于点．①求证:,②当点是边中点时.恰有(为正整数).求的值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知，如图1，将绕点旋转得到，延长线于点，使得，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如图2，点是边上任意一点（点与点、不重合），连接交于点，连接，过点作，交于点．

①求证：；

②当点是边中点时，恰有（为正整数），求的值．

【答案】（1）证明见解析

（2）①证明见解析 ②n=4

【解析】

（1）利用两线段平行且相等证明平行四边形．

（2）①由，根据相似比即可求得数量关系．

②由，，可导出相关线段的数量关系，即可求出结果．

解：（1）由题意可得，点D、E、F共线

∴，AD=BF

∴AD∥CF

又∵

∴

∴四边形是平行四边形．

（2）①∵

∴

由①得

∴

②∵,

∴

∵是边中点

∴BG=BC

∴GF=BC=AD

∴，即HD=HF

∵

∴，即DK=HF

∴

∴HD=4HK

∴n=4

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①在中，⊙O的环绕点是___________;

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【解析】

试题分析：①由△ABC是等边三角形，可得AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，再因DE=DC，可判定△DEC是等边三角形，所以ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，

因EF=AE，所以△AEF是等边三角形，所以AF=AE，∠EAF=60°，在△ABE和△ACF中，AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF ，可判定△ABE≌△ACF，故①正确．②由∠ABC=∠FDC，可得AB∥DF，再因∠EAF=∠ACB=60°，可得AB∥AF，即可判定四边形ABDF是平行四边形，所以DF=AB=BC，故②正确．③由△ABE≌△ACF可得BE=CF，S△ABE=S△AFC，在△BCE和△FDC中，BC=DF,CE=CD,BE=CF ，可判定△BCE≌△FDC，所以S△BCE=S△FDC，即可得S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确．④由△BCE≌△FDC，可得∠DBE=∠EFG，再由∠BED=∠FEG可判定△BDE∽△FGE，所以=，即=，又因BD=2DC，DC=DE，可得=2，即FG=2EG．故④正确．