Question

【题目】将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，．

（1）求GC的长；

（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）

【解析】

（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题；

（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CD=BD=AD．再由∠B=60°，得到△BDC为等边三角形，从而可以证明∠HDA=30°，进一步得到 AH=HD，由等腰三角形的性质得到MD=AM，ND=NB．即可得到结论；

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题．

（1）如图1．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BCtan60°=6，AB=2BC=4．

∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=2．

在Rt△ADG中，AG4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．

（2）如图2中，结论：DM=DN．

理由：∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴CD=BD=AD．

又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°．

又∠EDF=90°，∴∠HDA=30°．

∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=AM．

在等边三角形 BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．

又AD=BD，∴MD=ND．

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．

则AH=AGcos30°=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合，∴DD′=DB=2．