题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣
x+12与x轴，y轴分别相交于点A，B，∠ABO的平分线与x轴相交于点C．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，点D，E，F分别在线段BC，AB，OB上（点D，E，F都不与点B重合），连接DE，DF，EF，且∠EDF+∠OBC=90°，求证：∠FED=∠AED；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段FE与x轴相交于点G，连接DG，若∠CGD=∠FGD，BF：BE=5：8，求直线DF的解析式．
【答案】（1）点C坐标为（4，0）；（2）见解析；（3）直线DF的解析式为y=﹣
x+7．
【解析】整体分析：
（1）作CH⊥AB于H，由△OBC≌△HBC求BH，解Rt△ACH，求CH，即得OC；（2）过点D分别作DM⊥y轴于点M，DN⊥AB于点N，在NA上截取NP=FM，连接PD，用SAS证△DFM≌△DPN，得DF=DP，∠EDF=∠EDP，证△DEF≌△DEP；（3）过点F作FQ⊥BE于点Q，过点D作DM⊥y轴于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于点S，过点A作AT⊥BC交BC的延长线于T，连接AD．解Rt△ACT求ST，AT，∠ADT=∠DAT=45°，求DC，从而得DS，OS，求出D的坐标，判断DF∥AB，即可求DF的解析式.
解：（1）如图1，作CH⊥AB于H．
由题意A（9，0），B（0，12），
在Rt△AOB中，AB=
=
=15，tan∠OAB=
=
=
，
∵∠CBH=∠CBO，∠CHB=∠COB，CB=CB，
∴△OBC≌△HBC，
∴BH=OB=12，OC=CH，AH=15﹣12=3，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=
=
，
∠CH=4，
∴OC=CH=4，
∴点C坐标为（4，0）．
（2）解：如图2，过点D分别作DM⊥y轴于点M，DN⊥AB于点N，在NA上截取NP=FM，连接PD．
∵∠EDF+∠OBC=90°，∠BDM+∠OBC=90°，
∴∠EDF=∠BDM，同理∠BDN=∠BDM=
∠MDN，
∴∠EDF=
∠MDN，
∵∠DBM=∠DBN，DM⊥OB，DN⊥AB，
∴DM=DN，
∵∠FMD=∠PND=90°，NP=FM，
∴△DFM≌△DPN，
∴DF=DP，∠FDM=∠PDN，
∴∠FDM+∠FDN=∠PDN+∠FDN，即∠FDP=∠MDN，
∴∠EDF=
∠FDP=∠EDP，
∵DE=DE，
∴△DEF≌△DEP，
∴∠FED=∠AED．
（3）解：如图3，过点F作FQ⊥BE于点Q，过点D作DM⊥y轴于M，DN⊥AB于N，DR⊥EF于R，DS⊥OG于点S，过点A作AT⊥BC交BC的延长线于T，连接AD．
∵∠DEF=∠DEA，DR⊥EF，DN⊥EA，
∴DR=DN，同理DR=DS，
∴DN=DS，
∴∠BAD=∠OAD，同理∠OFD=∠DFG，
在Rt△ACT中，AC=9﹣4=5，tan∠ACT=tan∠BCO=
=3， 
=3，
设CT=m，则AT=3m．
∵CT2+AT2=AC2，
∴m2+（3m）2=52，
解得m=
或﹣
（舍），
∴CT=
，AT=
，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=
（∠OBA+∠BAO）=
×90°=45°，
∴∠DAT=45°=∠ADC，
∴DT=AT=
，
∴CD=DT﹣CT=
，同理可得，CS=1，DS=3=OM，
∴OS=4﹣1=3，
∴点D坐标（3，3），
设BF=5n，则BE=8n，在Rt△BFQ中，cos∠FBQ=
=
=
，
∴BQ=4n=EQ，
∴FQ⊥AB，∠BFQ=∠EFQ，
∴∠DFQ=∠DFC+∠EFQ=
（∠OFG+∠BFE）=
×180°=90°，
∴∠DFQ=∠BQF=90°，
∴DF∥AB，
设直线DF的解析式为y=﹣
x+b，
∴3=﹣
×3+b，
解得b=7，
∴直线DF的解析式为y=﹣
x+7．
