题目内容
【题目】已知抛物线L：y＝
x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；
（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】(1)y＝
x2﹣
x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣
）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面积是5；(3)所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝
，y＝
，y＝
．
【解析】
（1）根据抛物线过点A可以求得抛物线的解析式，然后将抛物线化为顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点A、B、C的坐标，从而可以判断△ABC的形状并求出它的面积；
（3）根据平移的特点和分类讨论的方法可以求得相应的函数解析式．
(1)∵抛物线L：y＝x2+bx﹣2过点A（﹣1，0），
∴0＝×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2，
解得，b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣2＝
，
∴点D的坐标为（，﹣），
即该抛物线的函数表达式是y＝x2﹣x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣）；
(2)当y＝0时，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，
则点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣2），
∴AB＝5，AC＝
，BC＝2，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是：
＝5；
(3)∵抛物线向左或向右平移，
∴平移后A′B′与平移前的AB的长度相等，
∴只要平移后过（0，﹣2）或过（0，2）即满足条件，
当向右平移时，
令y＝
，当x＝0时，y＝
＝2，得a＝
，
此时y＝
＝
，
当向左平移时，
令y＝
，当x＝0时，y＝＝±2，得m＝
或m＝3，
当m＝时，y＝
，当m＝3时，y＝
﹣2，
由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝﹣2．
