Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+ax+a（a≠0）交x轴于点A和点B（点A在点B左边），交y轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝3．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，D是第一象限的抛物线上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE（点B与点E为对应点），点E恰好落在y轴上，求点D的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作x轴的垂线，垂足为H，点F在第二象限的抛物线上，连接DF交y轴于点G，连接GH，sin∠DGH＝，以DF为边作正方形DFMN，P为FM上一点，连接PN，将△MPN沿PN翻折得到△TPN（点M与点T为对应点），连接DT并延长与NP的延长线交于点K，连接FK，若FK＝，求cos∠KDN的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）D的坐标为（3，3）；（3）

【解析】

（1）通过抛物线y＝先求出点A的坐标，推出OA的长度，再由tan∠CAO＝3求出OC的长度，点C的坐标，代入原解析式即可求出结论；

（2）如图2，过点D分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为W和Z，证△DZE≌△DWB，得到DZ＝DW，由此可知点D的横纵坐标相等，设出点D坐标，代入抛物线解析式即可求出点D坐标；

（3）如图3，连接CD，分别过点C，H作F的垂线，垂足分别为Q，I，过点F作DC的垂线，交DC的延长线于点U，先求出点G坐标，求出直线DG解析式，再求出点F的坐标，即可求出正方形FMND的边长，再求出其对角线FN的长度，最后证点F，K，M，N，D共圆，推出∠KDN＝∠KFN，求出∠KFN的余弦值即可．

解：（1）在抛物线y=中，

当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴OA＝1，

∵tan∠CAO＝3，

∴OC＝3OA＝3，

∴C（0，3），

∴a＝3，

∴a＝2，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；

（2）如图2，过点D分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为W和Z，

∵∠ZDW＝∠EDB＝90°，

∴∠ZDE＝∠WDB，

∵∠DZE＝∠DWB＝90°，DE＝DB，

∴△DZE≌△DWB（AAS），

∴DZ＝DW，

设点D（k，﹣k2+k+3），

∴k＝﹣k2+k+3，

解得，k1＝﹣（舍去），k2＝3，

∴D的坐标为（3，3）；

（3）如图3，连接CD，分别过点C，H作F的垂线，垂足分别为Q，I，

∵sin∠DGH＝

∴设HI＝4m，HG＝5m，则IG＝3m，

由题意知，四边形OCDH是正方形，

∴CD＝DH＝3，

∵∠CDQ+∠IDH＝90°，∠IDH+∠DHI＝90°，

∴∠CDQ＝∠DHI，

又∵∠CQD＝∠DIH＝90°，

∴△CQD≌△DIH（AAS），

设DI＝n，

则CQ＝DI＝n，DQ＝HI＝4m，

∴IQ＝DQ﹣DI＝4m﹣n，

∴GQ＝GI﹣IQ＝3m﹣（4m﹣n）＝n﹣m，

∵∠GCQ+∠QCD＝90°，∠QCD+∠CDQ＝90°，

∴∠GCQ＝∠CDQ，

∴△GCQ∽△CDQ，

∴

∴

∴n＝2m，

∴CQ＝DI＝2m，

∴IQ＝2m，

∴tan∠CDG＝，

∵CD＝3，

∴CG＝，

∴GO＝CO﹣CG＝，

设直线DG的解析式为y＝kx+，

将点D（3，3）代入，

得，k＝，

∴yDG＝，

设点F（t，﹣t2+t+3），

则﹣t2+t+3＝t+，解得，t1＝3（舍去），t2＝﹣，

∴F（﹣，）

过点F作DC的垂线，交DC的延长线于点U，

则，

∴在Rt△UFD中，

DF＝，

由翻折知，△NPM≌△NPT，

∴∠MNP＝∠TNP，NM＝NT＝ND，∠TPN＝∠MPN，TP＝MP，

又∵NS⊥KD，

∴∠DNS＝∠TNS，DS＝TS，

∴∠SNK＝∠TNP+∠TNS＝×90°＝45°，

∴∠SKN＝45°，

∵∠TPK＝180°﹣∠TPN，∠MPK＝180°﹣∠MPN，

∴∠TPK＝∠MPK，

又∵PK＝PK，

∴△TPK≌△MPK（SAS），

∴∠MKP＝∠TKP＝45°，

∴∠DKM＝∠MKP+∠TKP＝90°，

连接FN，DM，交点为R，再连接RK，

则RK＝RF＝RD＝RN＝RM，

则点F，D，N，M，K同在⊙R上，FN为直径，

∴∠FKN＝90°，∠KDN＝∠KFN，

∵FN＝，

∴在Rt△FKN中，

∴cos∠KDN＝cos∠KFN．