题目内容
【题目】已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.
【答案】6
【解析】分析：设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x，依据∠EBF=∠EFB，可得EF=BE=12﹣4x，由旋转可得DF=CD=3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，即可得到（3x）2+（4x）2=（3x+12﹣4x）2，进而得出CD=6．
详解：如图所示，设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x．∵
=
，∠DCE=∠ACB=90°，∴△ACB∽△DCE，∴∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∴∠ABF=∠BFE．又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠EBF=∠EFB，∴EF=BE=12﹣4x，由旋转可得DF=CD=3x．在Rt△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（3x）2+（4x）2=（3x+12﹣4x）2，解得x1=2，x2=﹣3（舍去），∴CD=2×3=6．故答案为：6．
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